ACELERAÇÃO E SEQUÊNCIA

A aceleração corresponde a taxa de variação da velocidade, e como é sabido, ela é obrtida a partir da primeira derivada da função da velocidade (FLEMMING, 2006)

Todavia, a aceleração pode ser compreendida como a razão de uma progressão aritmética, cujo os termos são as velocidades ordenadas de acordo com a ordem dos instantes. Isto é, se temos V₁ correspondente a t₁, V₂ correspondente a t₂ e assim sucessivamente, ordenaríamos a sequência dessa maneira:

(V₁,V₂,V₃,V₄ ...  V_n)

Antes de defendermos essa ideia, abordaremos o conceito de sequência e progressão aritmética.

De acordo com Cerqueira, uma sequência corresponde a uma função, tal que a: N → R. Ou seja, é associado a cada número natural um termo a_n, tal que a_n  pertence a R. Para entender melhor, temos {a₁, a₂, a₃ ... a_n ...}. Cada um desses termos está associado a um número real, o qual coincide com o índice do termo em questão. Isto é a₁ está vinculado ao número natural 1, enquanto a₂ está vinculado ao número natural 2. Trazendo o vocabulário utilizado no estudo das funções, os termos da sequência são imagens da função.

Imagem extraída do livro Fundamentos de Matemática Elementar: Sequências e Séries, 2° ed.

Os termos das funções podem estar ordenados sob um raciocínio. Por exemplo, a sequência {0; 2; 4; 6; 8;...} segue o seguinte raciocínio: a cada termo anterior soma-se 2 e é obtido o próximo termo. Esse termo que está sendo somado é chamado de razão (r), e pode ser obtido a partir da subtração do termo sucesso pelo termo antecessor, isto é, a_n – a_n-1 = r.

Todavia, não há a necessidade de ser o termo sucessor subtraído pelo termo antecessor, mas pode ser realizada a subtração entre qualquer termos da função, desde que o termo subtraído suceda o termo que esta subtraindo, isto é, a_n-1 – a_n-2 = r ou a_n-3 – a_n-1 = ( -2)r.

Isso pode ser feito desde que a diferença entre os índices do termo seja igual ao coeficiente de r.

Vejamos na sequência anterior {0; 2; 4; 6; 8;...}. Se tivermos a₅ – a₂ temos como resultado (5-2)r. Calculando, temos: 8-2= 3r => r=6/3=2. Como já era de consciência geral, a razão dessa sequência, classificada como progressão aritmética, era 2, e através do raciocínio demonstrado acima, a razão foi obtida.

Portanto, a partir disso, alcançou-se a seguinte equação para determinar um termo da progressão aritmética, independente da sua posição, da seguinte forma:

a_n-a_m=(n-m)r => a_n= a_m + (n-m)r

Onde a_n é o termo que antecede o termo a_m, (n-m) é a diferença entre os índices dos termos e r é a razão da P.A.

O exemplo a seguir revelará como a utilização dessa fórmula auxilia a alcançar o valor de um termo da P.A.. Utilizaremos a mesma sequência usada nos exemplos anteriores:

a₂₁= a₅ + (21-5)r => a₂₁= 8 +16(2) => a₂₁= 8+ 32 = 40

Contextualizando com a Física, essa fórmula se assemelha bastante com a fórmula do MRUV

 v = v₀ +a.t

Onde v (velocidade final) equivale a a_n, a_m é 

v₀ , e (n-m) corresponderia a variação de tempo ou ao instante t

Digo que (n-m) corresponde ao instante t, porque ele corresponde a variação do instante final menos o inicial, sendo que o inicial corresponde ao instante 0.

Veja como essas duas equações são semelhantes, na verdade iguais. Os exemplos provarão.

·         Situação 1

Um corpo com aceleração de 2m/s² sai do repouso e atinge velocidade igual a 10 m/s após 5 s. Temos as velocidades desse corpo até 5 s.

v (m/s)	T (s)
0	0
2	1
4	2
6	3
8	4
10	5

Arrumamos a sequência, que corresponde a uma P.A.

(0; 2; 4; 6; 8; 10)

Onde a₁ = 0 m/s, a₂= 2 m/s; a₃= 4 m/s, a₄= 6 m/s, a₅= 8 m/s, a₆= 10 m/s.

Utilizando da fórmula para encontrar a razão de uma P.A., temos

a_{2 -} a₁ =  a_{3 -} a₂  =  a₄ -  a₃ = a₅ - a₄ = a₆ - a₅ = r

r = 2.

Observamos que a razão da P.A. formada pela sequência de velocidades ordenadas conforme o instante correspondente tem a razão numericamente igual a aceleração do sistema.

·         Situação 2

Um corpo com aceleração igual a 4 m/s² atinge em 5 s uma velocidade de 24 m/s. Isso porque a velocidade inicial do corpo é igual a 4 m/s. Tem-se, então, as velocidades até 5 s.

v (m/s)	t (s)
4	0
8	1
12	2
16	3
20	4
24	5

Pondo em sequência conforme o instante que a velocidade corresponde, temos:

(4; 8; 12; 16; 20; 24)

Onde a₁ = 4 m/s, a₂= 8 m/s; a₃= 12 m/s, a₄= 16 m/s, a₅= 20 m/s, a₆= 24 m/s.

Utilizando da fórmula para encontrar a razão de uma P.A., temos

a_{2 -} a₁ =  a_{3 -} a₂  =  a₄ -  a₃ = a₅ - a₄ = a₆ - a₅ = r

r = 4.

Portanto, é visível que a razão da P.A. formada a partir da sequência das velocidades ordenada conforme os instantes correspondentes é numericamente igual a razão do sistema.

Pode-se concluir, então, que equações como V=Vo +at correspondem a uma fórmula para determinar a posição de um termo da P.A. formada a partir das velocidades de um corpo, sendo a razão dessa P.A. numericamente igual a aceleração do corpo.

Referências:

IEZZI, Gelson Elementos da Matemática Elementar. 4° edição. São Paulo

FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, Limites, Derivação, Integração. São Paulo, 2006

AUTOR:
Daniel Gomes