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ESCALONAMENTO DE GAUSS-JORDAN

Um método simples para realizar o escalonamento é o método de Gauss-Jordan

Para utilizar esse método, deve-se ter um número de incógnitas igual ao número de equações. Isso porque utilizaremos de matrizes (e seus recursos) para realizar o escalonamento.
Dado o sistema de equações:


Colocamos os coeficientes numa matriz, e os termos independentes também farão parte dessa matriz, pois será uma matriz estendida.


 
Observe que uma matriz estendida é semelhante a uma matriz quadrada (que o número de colunas é igual ao número de linhas). Todavia, essa matriz tem uma extensão, que corresponde a uma coluna a mais. Essa coluna a mais, terá como elementos os termos independentes, ou seja, o 6,5 e 7 dos casos anteriores.
Observe que a parte da matriz formada somente pelos coeficientes das equações corresponde a uma matriz de terceira ordem.

A partir de agora, verifica-se os pivôs. Os pivôs são os elementos que fazem parte da diagonal principal da matriz de terceira ordem que sinalizei. Pode-se entender de uma outra forma. Os elementos que são os pivôs são aij, onde i=j
.
O primeiro pivô é 3. Para tanto devo dividir tudo por 3 para que a11 seja igual a 1. Com isso, podemos fazer manipulações mais facilmente.



Agora, devemos anular os elementos que fazem parte da mesma coluna que o pivô que estamos analisando.
Para anular o elemento 1 correspondente a a21, multiplicamos toda a linha 1 por -1. O resultado dessa multiplicação, somamos com a linha 2, e o resultado dessa soma ficará no lugar da linha dois.
Temos, então:



Fazemos o mesmo para eliminar o 2. Multiplicamos a linha 1 por -2 e somamos esse produto com a linha 3. Essa linha fruto da soma substituirá a atual linha.
Temos, então:


Com essa coluna zerada, nós vamos para o outro pivô, que é a22= 7/3. Então, buscaremos zerar tanto o elemento que está em cima quanto o elemento que está em baixo. Depois faremos isso com o termo a­33.
Tente fazer, o resultado é:



Autor: Daniel Gomes

Referências:

MÉTODOS DIRETOS PARA SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES. Disponível em: <http://www-di.inf.puc-rio.br/~tcosta/cap2.htm>. Acesso em: 19 de mar de 2017.

SCHUTZER, Waldeck. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN, ESCALONAMENTO E SISTEMAS LINEARES. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=I1kexTz5GTM >. Acesso em: 19 de mar de 2017.

SISTEMAS LINEARES. Disponível em:                                                                                               < http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/sistemas_lineares.pdf >. Acesso em 19 de mar de 2017




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