O método das cascas cilíndricas é utilizado quando tenho uma
função f(x) e outra função g(x) delimitando uma área e o eixo de rotação dessa
área é paralelo ou coincide com o eixo das ordenadas.
Pode ser usado também, no caso de termos uma função f(y) e
g(y) e o eixo de rotação das figuras planas formadas é paralelo ou coincide com
o eixo das abscissas.
No exemplo acima temos f(x)= (x-3)2(x-1) e g(x) =
0, logo g(x) coincide com o eixo das abscissas.
Para determinar o volume do sólido formado pela rotação da
figura plana pelos métodos tradicionais teria que deixar de ser em função de x
para ser em função de y, no caso transformaria f(x) em f(y). Porém isso é muito
complicado, então utiliza o método da casca cilíndrica.
Para aplicar esse método, nós desenhamos um retângulo na
figura plana e rotacionamos ela, formando um cilindro oco
Mas como acharia o volume do cilindro?
O volume do cilindro oco será a diferença entre o volume
total da figura (V2), e o volume da parte oca (V1).
Realizando as operações algébricas, chegamos a:
Fazendo:
Sugiro que retorne à terceira figura e analise-a bem.
Mas, como aplicaremos isso à função?
Observe que na figura plana foi feito num retângulo com comprimento dx e altura
igual a f(x). dx será a diferença entre os raios e f(x) será a altura. Como
estamos com a função em função de x então o raio médio da fórmula será
representado por x, resultando em:
Porém, para achar o volume da figura sólida formada pela
rotação de f(x) pelo eixo das ordenadas, terei que construir vários retângulos
desse tipo sobre toda a figura. Se temos o somatório, e sabemos que a integral
tem origem no somatório de vários retângulo, então dizemos que:
Autor: Daniel Gomes
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