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FORMAS DE ASSIMILAR REGRAS DE FATORAÇÃO

O quadrado da soma - (a+b)2
A maneira fácil de associar o quadrado da soma é gravar essa sentença: o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais duas vezes o quadrado do segundo.
Todavia, há uma forma mais complexa para entende-lo, e que permiti um maior entendimento sobre a organização do binômio de Newton e que pode ser utilizada para outros binômios.
Para entender o quadrado da soma dessa nova maneira, basta associar da seguinte maneira: o primeiro começará com o expoente n, sendo n o número que está elevando a soma, no caso 2. Em seguida o seu expoente cairá – a cada termo – até zero. Todavia, o segundo termo começará com zero e, a cada termo, o seu expoente começará a crescer até n.

(a+b)n = (a+b)2 ó n=2
(a+b)2 = a2b0 + 2ab + a0b2

Como um número elevado a zero é igual a um, então fica:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

O quadrado da diferença - (a-b)2
Para entender o quadrado da diferença, basta apenas apreender o quadrado da soma e saber que quando a um termo n elevando uma diferença, temos os termo pares com sinal negativo. Isso é aplicável a qualquer binômio.
Portanto, o quadrado da diferença fica:

 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

O cubo da soma – (a+b)3
Para assimilar o cubo da soma, devemos recordar os conceitos abordados no quadrado da soma. Portanto, o primeiro expoente está elevado a n, no caso n=3, e a cada termo terá o seu expoente diminuindo em uma unidade. Quanto ao segundo termo, ele começará com expoente zero, e então passará a crescer, a cada termo, um expoente.

(a+b)3 = a3b0 + 3a2b + 3ab2 + a0b3
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

O cubo da diferença – (a-b)3
Para o cubo da diferença, basta retomar os conceitos apresentados no quadrado da diferença. Portanto, temos:

(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

O produto da soma pela diferença – (a-b)(a+b)
Para associar esse caso, basta apenas saber que o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. Nesse caso, não há nada de especial

(a-b)(a+b) = a.a +ab –ab - b.b = a2 - b2

O quadrado da soma de três termos – (a+b+c)2
O quadrado da soma de três termos pode ser assimilado em duas partes, a qual será chamada de parte A e a outra de parte B. A parte A corresponde a somado dos quadrados dos três termos, ou seja, a2 + b2 + c2. A parte B corresponde a duas vezes a soma dos produtos de dois termos, isto é, 2(ab + ac + cb) = 2ab + 2ac + 2bc. Essas duas partes serão somadas, ficando

a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + cb) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

A soma dos cubos de dois termos, a3 + b3, e a diferença dos cubos de dois termos, a3 – b3
Para entender esse, basta assimilar o seguinte: (a b)(a2 ab +b2)
Os sinais dos termos dependerão da operação que estaremos tratando. Se for soma, teremos:

a3+b3 = (a + b)(a2 - ab +b2)

Se for diferença, teremos:

a3-b3 = (a - b)(a2 + ab +b2)

Pode-se notar que em (a b), o sinal será equivalente ao da operação estudada. Todavia, quanto ao sinal do termo ab da segunda parcela, o sinal será o oposto do estudado.

 Referências

 MAGALHÃES, Cícero Thiago B. Produtos Notáveis e Fatorações Não Tão Notáveis. Disponível em:<http://www.obm.org.br/export/sites/default/semana_olimpica/docs/2005/semoli11.pdf>. Acesso em 29 de dez de 2016

 SOUZA, Júlio. Lista de Fatoração. Disponível em <http://www.futuromilitar.com.br/portal/attachments/article/44/fatoracao-afa-efomm-cn-en-ime.pdf>. Acesso em 29 de dez de 2016.
AUTOR:
Daniel Gomes

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