O quadrado da soma - (a+b)2
A maneira fácil de associar o
quadrado da soma é gravar essa sentença: o
quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais duas vezes
o quadrado do segundo.
Todavia, há uma forma mais
complexa para entende-lo, e que permiti um maior entendimento sobre a
organização do binômio de Newton e que pode ser utilizada para outros binômios.
Para entender o quadrado da
soma dessa nova maneira, basta associar da seguinte maneira: o primeiro começará
com o expoente n, sendo n o número que está elevando a soma, no caso 2. Em
seguida o seu expoente cairá – a cada termo – até zero. Todavia, o segundo
termo começará com zero e, a cada termo, o seu expoente começará a crescer até
n.
(a+b)n =
(a+b)2 ó n=2
(a+b)2 = a2b0 + 2ab + a0b2
Como um número elevado a zero
é igual a um, então fica:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
O quadrado da diferença - (a-b)2
Para entender o quadrado da
diferença, basta apenas apreender o quadrado da soma e saber que quando a um
termo n elevando uma diferença, temos os termo pares com sinal negativo. Isso é
aplicável a qualquer binômio.
Portanto, o quadrado da
diferença fica:
(a-b)2 =
a2 - 2ab + b2
O cubo da soma – (a+b)3
Para assimilar o cubo da soma,
devemos recordar os conceitos abordados no quadrado da soma. Portanto, o
primeiro expoente está elevado a n, no caso n=3, e a cada termo terá o seu
expoente diminuindo em uma unidade. Quanto ao segundo termo, ele começará com
expoente zero, e então passará a crescer, a cada termo, um expoente.
(a+b)3 = a3b0 + 3a2b + 3ab2 + a0b3
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
O cubo da diferença – (a-b)3
Para o cubo da diferença, basta
retomar os conceitos apresentados no quadrado da diferença. Portanto, temos:
(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
O produto da soma pela
diferença – (a-b)(a+b)
Para associar esse caso, basta
apenas saber que o quadrado do primeiro
menos o quadrado do segundo. Nesse caso, não há nada de especial
(a-b)(a+b) = a.a +ab –ab - b.b = a2 - b2
O quadrado da soma de três
termos – (a+b+c)2
O quadrado da soma de três
termos pode ser assimilado em duas partes, a qual será chamada de parte A e a outra de parte B. A parte A corresponde a somado
dos quadrados dos três termos, ou seja, a2
+ b2 + c2. A parte B corresponde a duas vezes a soma
dos produtos de dois termos, isto é, 2(ab
+ ac + cb) = 2ab + 2ac + 2bc. Essas duas partes serão somadas, ficando
a2
+ b2 + c2 + 2(ab + ac + cb) = a2 + b2
+ c2 + 2ab + 2ac + 2bc
A soma dos cubos de dois termos, a3 +
b3, e a diferença dos cubos de dois termos, a3 – b3
Para entender esse, basta
assimilar o seguinte: (a b)(a2 ab +b2)
Os sinais dos termos
dependerão da operação que estaremos tratando. Se for soma, teremos:
a3+b3
= (a + b)(a2 - ab +b2)
Se for diferença, teremos:
a3-b3
= (a - b)(a2 + ab
+b2)
Pode-se notar que em (a b), o sinal será equivalente ao da
operação estudada. Todavia, quanto ao sinal do termo ab da segunda parcela, o sinal será o oposto do estudado.
Referências
MAGALHÃES, Cícero Thiago B. Produtos Notáveis e Fatorações Não Tão Notáveis. Disponível em:<http://www.obm.org.br/export/sites/default/semana_olimpica/docs/2005/semoli11.pdf>. Acesso em 29 de dez de 2016
SOUZA, Júlio. Lista de Fatoração. Disponível em <http://www.futuromilitar.com.br/portal/attachments/article/44/fatoracao-afa-efomm-cn-en-ime.pdf>. Acesso em 29 de dez de 2016.
AUTOR:
Daniel Gomes
Referências
MAGALHÃES, Cícero Thiago B. Produtos Notáveis e Fatorações Não Tão Notáveis. Disponível em:<http://www.obm.org.br/export/sites/default/semana_olimpica/docs/2005/semoli11.pdf>. Acesso em 29 de dez de 2016
SOUZA, Júlio. Lista de Fatoração. Disponível em <http://www.futuromilitar.com.br/portal/attachments/article/44/fatoracao-afa-efomm-cn-en-ime.pdf>. Acesso em 29 de dez de 2016.
AUTOR:
Daniel Gomes
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