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VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: MÉTODO DO DISCO E DOS ANÉIS

* Método do Disco

Dada uma figura plana delimitada por duas funções y1 = f(x) e y2=0. A partir dessas duas funções montaremos o nosso raciocínio. Essa figura, então é rotacionada, originado um sólido de revolução.



Para determina o volume desse do sólido a partir das funções y1 e y2­, usa o método do disco.

O método do disco consiste em dividir o sólido em vários cilindros (discos), onde o raio da base do cilindro corresponde à f(x) e sua altura corresponde a ∆x (dx). Para achar o volume do sólido de revolução original, então, realiza-se o somatório do volume de todos os cilindros.



Sabendo que o volume do cilindro é igual ao produto entre a área da base e a altura, o somatório será uma função dessa fórmula:



Sabendo que r=f(x) e h=dx e dx é constante, teremos:



Observe que foi isso, porque tínhamos como referências y1=f(x) e y2=0. Isso significa que uma das funções correspondia ao eixo das abscissas, o qual corresponde também ao eixo de rotação.
Caso tivéssemos como funções delineadoras da figura x1=0 e x2=f(y), teríamos:



Sendo x1 igual ao eixo das ordenadas, e igual ao eixo de rotação.

* Método dos Anéis

O método dos anéis é utilizado quando existem duas funções delimitando uma figura plana, sendo elas diferente de y=0
A figura rotacionada formará um sólido de revolução com uma cavidade no meio.


Para realizar o cálculo pelo método dos anéis, o sólido será divido, assim como no método dos discos, em vários anéis, e o somatório do volume desses anéis será igual ao volume do sólido de revolução.
O raio da figura, será igual a diferença entre as funções. Ao observa a figura, será possível entender o porquê.



O volume do anel é semelhante ao volume do disco, porém tenho que considerar Rs = R1 – R2

Então, temos:
V = pi.Rs2.h.
No caso, a altura será igual a ∆x (dx).
Logo:
V=pi.[f(x) – g(x)]2.dx

Como se trata de um somatório, então posso usar integra:


Isso tudo, porque o eixo de rotação é paralelo ao eixo das abscissas. Se fosse paralelo ao eixo das ordenadas, teríamos:


Obs.: O método dos anéis é um desdobramento do método dos discos.




 Autor: Daniel Gomes

Referências:

FLEMMING, Diva M. CÁLCULO A. 6° ed. São Paulo. Pearson Prentice Hall, 2006.





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