* Método do Disco
Dada uma figura plana delimitada por duas funções y1 = f(x) e y2=0. A partir dessas duas funções montaremos o nosso raciocínio. Essa figura, então é rotacionada, originado um sólido de revolução.
Para determina o volume desse do sólido a partir das funções y1 e y2, usa o método do disco.
Dada uma figura plana delimitada por duas funções y1 = f(x) e y2=0. A partir dessas duas funções montaremos o nosso raciocínio. Essa figura, então é rotacionada, originado um sólido de revolução.
Para determina o volume desse do sólido a partir das funções y1 e y2, usa o método do disco.
O método do disco consiste em dividir o sólido em vários
cilindros (discos), onde o raio da base do cilindro corresponde à f(x) e sua
altura corresponde a ∆x (dx). Para achar o volume do sólido de revolução
original, então, realiza-se o somatório do volume de todos os cilindros.
Sabendo que o volume do cilindro é igual ao produto entre a
área da base e a altura, o somatório será uma função dessa fórmula:
Observe que foi isso, porque tínhamos
como referências y1=f(x) e y2=0. Isso significa que uma
das funções correspondia ao eixo das abscissas, o qual corresponde também ao
eixo de rotação.
Sendo x1 igual ao eixo das
ordenadas, e igual ao eixo de rotação.
* Método dos Anéis
Para realizar o cálculo pelo método dos anéis, o sólido será
divido, assim como no método dos discos, em vários anéis, e o somatório do
volume desses anéis será igual ao volume do sólido de revolução.
Então, temos:
O método dos anéis é utilizado quando existem duas funções
delimitando uma figura plana, sendo elas diferente de y=0
O raio da figura, será igual a diferença entre as funções.
Ao observa a figura, será possível entender o porquê.
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Então, temos:
V
= pi.Rs2.h.
No caso, a altura será igual a ∆x
(dx).
Logo:
V=pi.[f(x)
– g(x)]2.dx
Como se trata de um somatório,
então posso usar integra:
Isso tudo, porque o
eixo de rotação é paralelo ao eixo das abscissas. Se fosse paralelo ao eixo das
ordenadas, teríamos:
Autor: Daniel Gomes
Referências:
FLEMMING, Diva M. CÁLCULO A. 6° ed. São
Paulo. Pearson Prentice Hall, 2006.
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